Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri_Zahwa Wahyuni

 Nama : Zahwa Wahyuni

Kelas : X MIPA 3

Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri

      Aturan Sinus dan Aturan Cosinus merupakan dua aturan yang menghubungkan panjang sisi dan besar sudut dalam segitiga sembarang dengan menggunakan konsep trigonometri. Sesuai dengan namanya, Aturan Sinus melibatkan fungsi sinus, sama halnya dengan Aturan Cosinus. Selain itu, luas segitiga ternyata dapat ditentukan dengan menggunakan bantuan trigonometri , yaitu berdasarkan besar sudut dan panjang dua sisi yang mengapitnya.

Aturan Sinus

Menjelaskan hubungan antara perbandingan panjang sisi yang berhadapan dengan sudut terhadap sinus sudut pada segitiga. Berdasarkan aturan sinus dalam segitiga ABC, perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi segitiga mempunyai nilai yang sama. Seperti yang dijelaskan pada gambar di bawah ini.

Segitiga sembarang Δ ABC

Keterangan:

a = panjang sisi a

A = besar sudut di hadapan sisi a

b = panjang sisi b

B = besar sudut di hadapan sisi b

c = panjang sisi c

C = besar sudut di hadapan sisi c

 

Supaya kamu lebih paham, kerjakan contoh soal di bawah ini yuk Squad!

• Sebuah segitiga diketahui memiliki sudut A = 30º, sisi a = 3 dan sisi b = 4. Hitung besar sudut B, besar sudut C dan panjang sisi c!

Diketahui:

A = 30º

a = 3

b = 4

Ditanya: B, C dan c?

Jawab:

• Menentukan besar sudut B

Karena sinus harus bernilai positif baik di kuadran I maupun kuadran II, maka sudut lain yang memenuhi adalah B = (180º - 41,8º) = 138,2º

• Menentukan besar sudut C

Jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180º, oleh karena itu berlaku:

A + B + C = 180º → C = 180º - (A + B)

Untuk B = 41,8º → C = 180º - (30º + 41,8º) = 108,2º

Untuk B = 138,2º → C = 180º - (30º + 138,2º) = 11,8º

• Menentukan panjang sisi C

  Aturan Cosinus

Aturan Cosinus merupakan aturan yang menjelaskan hubungan antara kuadrat panjang sisi dengan nilai cosinus dari salah satu sudut pada segitiga. Aturan cosinus dapat digunakan untuk menentukan unsur-unsur lain dalam suatu segitiga sembarang untuk dua kasus yaitu saat tiga sisi ketahui dan saat dua sisi dan sudut apitnya diketahui. Seperti yang dijelaskan pada gambar di bawah ini.

Segitiga sembarang Δ ABC

Keterangan:

a = panjang sisi a

A = besar sudut di hadapan sisi a

b = panjang sisi b

B = besar sudut di hadapan sisi b

c = panjang sisi c

C = besar sudut di hadapan sisi c

 

Sehingga aturan cosinus berlaku untuk setiap segitiga ABC sebagai berikut:

a² = b² + c² - 2 bc cos A

b² = c² + a² - 2 ac cos B

c² = a² + b² - 2 ab cos C

 

Berdasarkan rumus aturan cosinus di atas, maka di dapatkan rumus untuk menghitung besar sudutnya :

 

Supaya kamu lebih paham, kerjakan contoh soal di bawah ini yuk Squad!

• Segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 5 cm, panjang sisi c = 6 cm dan besar sudut B = 60º. Tentukan panjang sisi b!

Diketahui:

a = 5 cm

c = 6 cm

B = 60º

Ditanya: b?

Jawab:

 b² = a² + c² - 2ac cos B

 b² = 5² + 6² - 2(5)(6) cos 60º

 b² = 25 + 36 - 60 (0,5)

 b² = 61 - 30

 b² = 31

 b = 5,56 cm

Jadi, panjang sisi b adalah 5,56 cm

Luas Segitiga dengan Aturan Trigonometri

Pada umumnya, luas suatu segitiga dapat diperoleh dengan mengalikan alas dan tinggi dari segitiga tersebut dan kemudian membaginya dengan 2. Namun, terdapat cara lain untuk menghitung luas segitiga yakni dengan menggunakan rumus aturan trigonometri.

---

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Sebagaimana telah kita pelajari bahwa luas suatu segitiga dapat diperoleh dengan mengalikan alas dan tinggi dari segitiga tersebut dan kemudian membaginya dengan 2, atau dapat dituliskan sebagai

Selain menggunakan rumus di atas, luas segitiga tersebut juga dapat diperoleh dengan menggunakan rumus aturan trigonometri. Untuk penjelasannya, amatilah segitiga ABC berikut!

Gambar 1. Segitiga ABC dengan sudut dan sisi-sisinya

Perhatikan bahwa segitiga ABC pada Gambar 1 terbagi lagi menjadi dua segitiga yakni $\Delta ADC$ dan $\Delta BDC$. Pada $\Delta ADC$, kita peroleh

Dengan demikian,

Jadi, luas $L\Delta ABC$ dapat dinyatakan sebagai

Dengan cara yang sama, untuk setiap segitiga ABC juga berlaku:

Contoh 1:

Tentukan luas segitiga ABC pada Gambar 1 di atas jika diketahui sisi $BC=4$ cm, $AC=7\sqrt{3}$ cm dan $\angle C={60}^0$.

Pembahasan:

Diketahui $BC=a=4$ cm; $AC=b=7\sqrt{3}$ dan $\angle C={60}^0$. Dengan demikian, kita peroleh

Contoh 2:

Sebuah segitiga ABC diketahui luasnya 18 cm2. Jika panjang sisi $BC=4$ cm dan $AB=6\sqrt{3}$ cm, maka tentukanlah besar sudut B.

Pembahasan:

Diketahui luas segitiga = 18, $BC=a=4$; dan $AB=c=6\sqrt{3}$. Dengan demikian, kita peroleh