PERBANDINGAN IGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU

 Nama:Zahwa Wahyuni

Kelas:X MIPA 3

Absen:35

PERBANDINGAN IGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU

Jika berbicara tentang dasar trigonometri, mutlak kita akan berhadapan dengan segitiga siku-siku, karena trigonometri itu sendiri didefinisikan berdasarkan konsep kesebangunan pada segitiga siku-siku.

Diberikan segitiga ABC siku-siku di B dengan ∠ A = θ.

perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

Jika sisi di depan sudut (opposite) dinamakan "depan", sisi di samping sudut (adjacent) dinamakan "samping" dan sisi miring (hypotenuse) dinamakan "miring", maka perbandingan sisi-sisi tersebut didefinisikan sebagai berikut :

sin(θ)=depanmiringcsc(θ)=miringdepan

cos(θ)=sampingmiringsec(θ)=miringsamping

tan(θ)=depansampingcot(θ)=sampingdepan

Keterangan :

sin untuk sinus

cos untuk cosinus

tan untuk tangen

csc untuk cosecan

sec untuk secan

cot untuk cotangen

Catatan :

Sisi depan dan sisi samping dapat berubah tergantung sudut yang digunakan, sedangkan sisi miring selalu sama, yaitu sisi terpanjang dan letaknya selalu di depan sudut siku-siku.

Dari definisi diatas dapat kita amati dan simpulkan sebagai berikut :

Cosecan adalah kebalikan dari sinus, ditulis

csc(θ)=1sin(θ)

Secan adalah kebalikan dari cosinus, ditulis

sec(θ)=1cos(θ)

Cotangen adalah kebalikan dari tangen, ditulis

cot(θ)=1tan(θ)

Tangen adalah perbandingan sinus terhadap cosinus, ditulis

tan(θ)=sin(θ)cos(θ))

sehingga

cot(θ)=cos(θ)sin(θ)

Contoh 1

Tentukan semua perbandingan trigonometri untuk sudut α pada segitiga ABC dan sudut β untuk segitiga PQR !

Penyelesaian :

Perhatikan segitiga ABC

AC = √(√3)2+12 = 2

Sesuai dengan definisi, maka

sin(α) = depanmiring = ABAC = √32

cos(α) = sampingmiring = BCAC = 12

tan(α) = depansamping = ABBC = √31 = √3

csc(α) = miringdepan = ACAB = 2√3 = 2√33

sec(α) = miringsmping = ACBC = 21 = 2

cot(α) = sampingdepan = BCAB = 1√3 = √33

Perhatikan segitiga PQR

QR = √(√2)2−12 = 1

Sesuai dengan definisi, maka

sin(β) = depanmiring = QRPR = 1√2 = √22

cos(β) = sampingmiring = PQPR = 1√2 = √22

tan(β) = depansamping = QRPQ = 11 = 1

csc(β) = miringdepan = PRQR = √21 = √2

sec(β) = miringsamping = PRPQ = √21 = √2

cot(β) = sampingdepan = PQQR = 11 = 1

Contoh 2

Jika tan(α) = √3 dan α sudut lancip, tentukan nilai dari sin2(α)+cos2(α)

Penyelesaian :

tan(α) = depansamping = √31

Karena perbandingan trigonometri memenuhi konsep kesebangunan, dapat ditulis :

depan = √3

samping = 1

Dengan teorema phytagoras

miring = √(√3)2+12 = 2

Berdasarkan definisi, kita peroleh

sin(α) =  √32

cos(α) = 12

sin2(α) + cos2(α) = (√32)2 + (12)2

sin2(α) + cos2(α) = 34 + 14

sin2(α) + cos2(α) = 1

Jadi, sin2(α) + cos2(α) = 1

Contoh 3

Jika sin(β) = 12 dan sudut β lancip, tentukan nilai dari sec2(β)−tan2(β)

Penyelesaian :

sin(β) = depanmiring = 12

depan = 1

miring = 2

samping = √22−12 = √3

Sesuai definisi

sec(β) = 2√3

tan(β) = 1√3

sec2(β) − tan2(β) = (2√3)2 − (1√3)2

sec2(α) − tan2(α) = 43 − 13

sec2(α) − tan2(α) = 1

Jadi, sec2(β) − tan2(β) = 1

Contoh 4

Jika cos(γ) = √22 dan sudut γ lancip, tentukan nilai dari csc2(γ)−cot2(γ)

Penyelesaian :

cos(γ) = sampingmiring = √22

samping = √2

miring = 2

depan = √22−(√2)2 = √2

Sesuai definisi

csc(γ) = 2√2

cot(γ) = √2√2 = 1

csc2(γ) − cot2(γ) = (2√2)2  − (1)2

csc2(γ) − cot2(α) = 2 − 1

csc2(γ) − cot2(α) = 1

Jadi, csc2(γ) − cot2(γ) = 1

Contoh 5

Diberikan segitiga ABC ⊥B dengan ∠A=α dan ∠C=β. Tunjukkan bahwa sin(α)=cos(90∘−α) dan cos(β)=sin(90∘−β)

Penyelesaian

Sesuai definisi, maka

sin(α) = BCAC

cos(β) = BCAC

Dari kedua persamaan diatas, maka

sin(α) = cos(β)  ......................................(1)

∠A + ∠B + ∠C = 180°

α + 90° + β = 180°

α + β = 90°

α = 90° − β  .............................(2)

β = 90° − α  .............................(3)

Substitusi (2) ke (1) diperoleh

sin(90° − β) = cos(β)

Substitusi (3) ke (1) diperoleh

sin(α) = cos(90° − α)

Contoh 6

Diketahui segitiga ABC ⊥B. Titik D terletak pada BC sehingga CD=1. Jika ∠ADB=α dan ∠ACB=β, tunjukkan bahwa AB=tan(α)tan(β)tan(α)−tan(β)

Penyelesaian :

Perhatikan segitiga ABD

tan(α) = ABBD

⇔ AB = BD tan(α)  ................................(1)

Perhatikan segitiga ABC

tan(β) = ABBD+1

⇔ AB = (BD + 1) tan(β)  .......................(2)

Dari persamaan (1) dan (2)

BD tan(α) = (BD + 1) tan(β)

BD tan(α) = BD tan(β) + tan(β)

BD tan(α) − BD tan(β) = tan(β)

BD(tan(α) − tan(β)) = tan(β)

BD = tan(β)tan(α)−tan(β)  ..................................(3)

Substitusi (3) ke (1)

AB = tan(β)tan(α)−tan(β) tan(α)

diperoleh

AB = tan(α)tan(β)tan(α)−tan(β)