SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT(SPLK)

NAMA:ZAHWA WAHYUNI

KELAS:X MIPA 3

ABSEN:35

MAPEL:MATEMATIKA WAJIB

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK) 

Sistem persamaan linear dan kuadrat atau disingkat SPLK adalah sistem persamaan yang terdiri atas sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang masing-masing bervariabel dua.

Dan dalam menyelesaikan persoalan tersebut ini, kita harus menemukan solusinya dengan menggunakan sistem persamaan. 

Jenis SPLK dan Bentuk Umumnya.

*  SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit

Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk eksplisit jika persamaan itu dapat diubah menjadi bentuk y = f(x) atau x = f(y). Oleh karena itu, SPLK eksplisit ini memiliki bentuk umum sebagai berikut.

y = ax + b ……………………. (bagian linear) y = px2 + qx + r ……………. (bagian kuadrat)

* SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit

Persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk implisit jika persamaan itu mempunyai bentuk umum sebagai berikut.

ax + by + c = 0 ………………………………. (bagian linear) px2 + qy2 + rxy + sx + ty + u = 0……. (bagian kuadrat)

Cara Penyelesaian SPLKDV : 

1. Subtitusikan y = ax + b menjadi y = px2 + qx + r sehingga akan terbentuk persamaan kuadrat.
2. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk yaitu x1 dan x2.
3. Subtitusikan x1 dan juga x2 ke dalam bentuk persamaan bentuk linear untuk memperoleh y1 dan y2.
4. Himpunan penyelesaiannya yaitu {(x1,y1),(x2,y2)}.

Himpunan penyelesaian antara persamaan bentuk linear dengan bentuk kuadrat mempunyai tiga kemungkinan, di antaranya yaitu :

a.	Jika D > 0 maka SPLK memiliki dua penyelesaian berbeda (garis lurus memotong kurva parabola di dua titik yang berlainan).
b.	Jika D = 0 maka SPLK memiliki tepat satu penyelesaian (garis lurus menyinggung kurva parabola).
c.	Jika D < 0 maka SPLK tidak memiliki penyelesaian (garis lurus tidak memotong ataupun menyinggung kurva parabola).

Metode Substitusi

Contoh dari sistem persamaan dua variabel:

x – y = - 4 …………….. Persamaan 1

x2 – y = - 2 …………… Persamaan 2

Penyelesaian dari sistem ini adalah pasangan berurutan yang di mana akan memenuhi masing-masing persamaan dalam sistem tersebut.

Proses dalam menemukan himpunan dalam metode atau penyelesaian ini disebut sebagai menyelesaikan sistem persamaan.

Sebagai contoh, pasangan berurutan (–1, 3) merupakan salah satu selesaian dari sistem ini. Untuk menguji hal ini, maka akan kita substitusi –1 ke x serta 3 ke y dalam masing-masing persamaan.

Menguji (–1, 3) ke dalam Persamaan 1 serta Persamaan 2:

x – y = -4 → Tulis persamaan 1.

-1 – 3 = -4 → Substitusi  -1 ke x dan 3 ke y.

-4 = -4 → Penyelesaian teruji dalam persamaan 1.

x2 – y = -2 → Tulis persamaan 2.

(-1)2 – 3 = -2 → Substitusi  -1 ke x dan 3 ke y.

Metode Substitusi

1. Selesaikan satu persamaan, sehingga akan ada satu variabel pada persamaan tersebut yang dinyatakan ke dalam bentuk variabel lainnya.
2. Substitusi bentuk yang diperoleh dalam tahap pertama ke dalam persamaan lainnya untuk memperoleh persamaan dalam satu variabel.
3. Selesaikan persamaan yang didapatkan pada tahap ke dua.
4. Substitusi balik nilai yang kita dapatkan di tahap tiga ke dalam persamaan yang didapatkan di tahap pertama guna menemukan nilai variabel lainnya.
5. Uji selesaian ini apakah memenuhi masing-masing persamaan dalam sistem.

CONTOH SOAL

1. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.

x + y – 1 = 0 ……….bagian linear

x2 + y2 – 25 = 0 …..bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan

Jawab:

Pada bagian persamaan linear, kita nyatakan y dalam x yaitu sebagai berikut.

⇒ x + y – 1 = 0

⇒ y = 1 – x

Lalu subtitusikan persamaan y = 1 – x ke persamaan kuadrat x2 + y2 – 25 = 0, sehingga kita peroleh:

⇒ x2 + y2 – 25 = 0

⇒ x2 + (1 – x)2 – 25 = 0

⇒ x2 + 1 – 2x + x2 – 25 = 0

⇒ 2x2 – 2x – 24 = 0

⇒ x2 – x – 12 = 0

⇒ (x + 3)(x – 4) = 0

⇒ x = −3 atau x = 4

Setelah nilai-nilai x kita peroleh, selanjutnya subtitusikan x = −3 atau x = 4 ke persamaan linear x + y – 1 = 0 yaitu sebagai berikut.

● untuk x = −3 diperoleh:

⇒ x + y – 1 = 0

⇒ −3 + y – 1 = 0

⇒ y – 4 = 0

⇒ y = 4

Kita peroleh himpunan penyelesaian (−3, 4).

● untuk x = 4 diperoleh:

⇒ x + y – 1 = 0

⇒ 4 + y – 1 = 0

⇒ y + 3  = −3

⇒ y = 4

Kita peroleh himpunan penyelesaian (4, −3).

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(−3, 4), (4, −3)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPLK tersebut dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong garis x + y = 1 dengan lingkaran x2 + y2 = 25. Perhatikan gambar berikut ini.

grafik penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) dengan bagian kuadrat berbentuk implisit

2. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.

2x + 3y = 8

4x2 – 12xy + 9y2 = 16

Jawab:

Bagian kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut.

⇒ 4x2 – 12xy + 9y2 = 16

⇒ (2x – 3y)2 – 16 = 0

⇒ (2x – 3y + 4)(2x – 3y – 4) = 0

⇒ 2x – 3y + 4 = 0 atau 2x – 3y – 4 = 0

Jika hasil ini digabungkan dengan persamaan linear semula, maka akan diperoleh dua SPLDV, yaitu sebagai berikut.

2x + 3y = 8

………. SPLDV pertama

2x – 3y + 4 = 0

2x + 3y = 8

………. SPLDV kedua

2x – 3y – 4 = 0